Логические выражения

Задание 1. Сколько различных решений имеет уравнение
(K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^ N) = 1,
где K, L, M, N – логические переменные?

Решение.

Высказывание (K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^ N) истинно только в том случае, когда истинны оба высказывания (K v L v M) и (¬L ^ ¬M ^ N).

Второе из этих высказываний, (¬L ^ ¬M ^ N), истинно только при L = 0, M = 0, N = 1.

При найденных значениях L и M первое высказывание, (K v L v M), истинно, если K = 1.

Уравнение имеет только одно решение.


Задание 2. Сколько различных решений имеет уравнение
(K ^ L) v (M ^ N) = 1,
где K, L, M, N – логические переменные?

Решение.

Высказывание (K ^ L) v (M ^ N) истинно, когда истинно хотя бы одно из высказываний (K ^ L), (M ^ N).

Первое из этих высказываний, (K ^ L), истинно при K = 1, L = 1, а поскольку второе высказывание при этом может принимать любое значение, то для M и N следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Второе из этих высказываний, (M ^ N), истинно при M = 1, N = 1, а поскольку первое высказывание при этом может принимать любое значение, то для K и L следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Последний из этих наборов следует исключить, т.к. он уже учитывался ранее, когда M и N могли принимать любые значения.

Таким образом, уравнение имеет 7 решений.


Задание 3. Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение
(K -> M) v (L ^ K) v ¬N
ложно.

Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M, N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K =1, L = 1, M = 0, N = 1.

Решение.

Высказывание (K -> M) v (L ^ K) v ¬N ложно, когда ложны все высказывания
K -> M,
L ^ K,
¬N.

Первое из этих высказываний, K -> M, ложно, если K = 1, M = 0.

Второе из этих высказываний, L ^ K, при K = 1 ложно, если L = 0.

Третье из этих высказываний, ¬N, ложно, если N = 1.

Таким образом, значения переменных, при которых логическое выражение, заданное в условии задачи, ложно: 1001.