Системы счисления. Позиционная и непозиционная системы счисления

Систему счисления можно определить как способ записи чисел как количественной характеристики (отвечает на вопрос "сколько") чего-либо. Синонимом понятию "система счисления" является слово "нумерация".

В любой системе счисления числа записываются с помощью специальных, используемых в данной системе знаков-символов, которые все вместе формируют алфавит этой системы счисления. Пользуясь десятичной системой счисления мы привыкли называть символы ее алфавита цифрами.

Одно и тоже число (значение, количество) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

Широко известны две системы счисления – арабская и римская.

Алфавит арабской системы счисления:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Арабская система счисления – это позиционная система счисления.

Алфавит римской системы счисления:

I, V, X, L, C, D, M

Римская система счисления относится к непозиционным.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, в непозиционных такой однозначной зависимости нет. Например:

• 11 – здесь первая единица обозначает десять количественных единиц, вторая – только одну единицу.

• II – здесь обе единицы обозначают одну единицу.

• 345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5 единиц, во втором – 50, в третьем – 500.

• XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, так как они легко описываются с помощью универсальных алгоритмов. Например, умножение в столбик или поразрядное сравнение двух чисел.

В связи с этим позиционные системы счисления нашли более широкое распространение. Помимо всем известной десятичной, в которой используются десять цифр от 0 до 9, в вычислительных технике и технологиях нашли применение такие системы как двоичная (алфавит состоит из цифр 0 и 1), восьмеричная (алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) и шестнадцатеричная (алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Следует отметить, важную роль нуля. Открытие этой цифры в истории человечества сыграло большое значение в формировании позиционных систем счисления.

Ключевые понятия позиционных систем счисления

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр. Так основанием десятичной системы счисления является число десять, так как ее алфавит состоит из десяти знаков. Основание двоичной системы счисления является число два.

Основание системы счисления равно размерности алфавита системы счисления. Размерность алфавита – это количество цифр, составляющих алфавит.

Разряд – это позиция цифры в числе. От того, в каком месте числа находится цифра, зависит обозначаемое ею количество, то есть то, что она значит.

Разрядность числа – количество цифр, из которых состоит число. Например, 264 – трехразрядное число в десятичной системе счисления, 00010101 – восьмиразрядное число в двоичной системе счисления. Разряды нумеруются справа налево. Например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка – третий.

В позиционных системах счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий при движении справа налево разряд больше другого на одну степень основания системы счисления.

Другими словами, у каждого разряда есть свой вес, представляющий собой основание системы счисления, возведенное в степень, соответствующую данному разряду. Показатель степени соотносится с разрядом как разряд-1. Например, в примере десятичного числа ниже цифра 8 находится в четвертом разряде числа. Значит, обозначаемое ею количество вычисляется вычисляется как произведение числа 8 на основание системы счисления (здесь 10) в степени 3.