Двоичная система счисления

Раздел: 
Системы счисления
Номер темы: 
2

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе:
0 – это ноль
1 – это один (и это предел разряда)
10 – это два
11 – это три (и это снова предел)
100 – это четыре
101 – пять
110 – шесть
111 – семь и т.д.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить так:

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20

Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

100010012 = 13710

Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.

Перевод десятичного числа в двоичное

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1001101 = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

77 / 2 = 38 (1 остаток) 38 /

77 / 2 = 38 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)
Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:
1001101 = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77
Откуда взялось число 64

Просто супер сайт если бы не

Просто супер сайт если бы не он я бы так и не понял!!!

75/ 2 =37(1) 37/ 2 =18(1) 18/

75/ 2 =37(1)
37/ 2 =18(1)
18/ 2 = 9(0)
9/ 2 = 4(1)
4/ 2 = 2(0)
2/ 2 = 1(0)
1/ 2 = 0(1)
1 1 0 1 0 0 1
64 32 16 8 4 2 1
64+32 +8 +1 = 105

чет не сходится :)

Ты наоборот цифры записал, у

Ты наоборот цифры записал, у тебя результат 1001011

Собирать остатки нужно с

Собирать остатки нужно с конца,получится :
1001011
1*2^6+0*2^5+0*2^4+1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0=64+0+0+8+0+2+1=75

надо записывать сверху в низ

надо записывать сверху в низ тоесть не 1101001 а 1001011

наоборот считай

наоборот считай

Двоичное с конца

Двоичное с конца пишется..1001011 и получается 64+0+0+8+0+2+1=75

Записываем с конца, а не с

Записываем с конца, а не с начала:
1 0 0 1 0 1 1
64 32 16 8 4 2 1
64+8+2+1=75

пишут снизу вверх 1001011 и

пишут снизу вверх 1001011 и выходит 64+8+2+1=75

С конца 1001011=64+8+1=75

С конца 1001011=64+8+1=75

число записывается с права на

число записывается с права на лево... должно получиться: 64+8+2+1=75

начинать надо с конца

начинать надо с конца 64+0+0+8+0+2+1=75

Надо записывать в обратном

Надо записывать в обратном порядке остатки, то есть 75 = 1001011

формировать просто число

формировать просто число нужно в обратном порядке

5. Сколько можно записать

5. Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?

А как перевести число Пи ? Или тут нужно опредилиться с лимит.?

Двоичная 11,00100100001111110110…(из википедии)
Десятичная 3,1415926535897932384626433832795…

У меня получилось 11,110011011100
11(3),1(1)100(4)1(1)101(5)1100(9)..т.д. где ошибка? С ув. Юрий

спор

тут по очереди пять написано 101, а если разделить как 5/2, 4/2,2/2,1/2 то получается 1101 почему?

Не правильно делишь 5/2=2.5

Не правильно делишь 5/2=2.5 а не 4 поэтому идёт 5/2=2(1) 2/2=1(0) 1/2=0(1) вот и 101

ты не правильно переводишь не

ты не правильно переводишь не 5/2, 4/2,2/2,1/2, а 5/2, получится 2(1), после 2/2 получится 1(0), после 1/2 получится 0(1) (то что в скобках это остаток, при делении остаток не считается, и каждый раз полученное число мы делим на два, после собираем остатки в одно число начиная с конца и получится 101(это число 5)

!

5/2 = 2 (остаток 1)
2/2 = 1 (остаток 0)
1/2 = 0 (остаток 1)

У вас лишнее деление: 4/2.